Circuits & Electronics - Semiconductor Material & Diode
半導體 Semiconductor
- 自由電子數量 (free electron )介於 導體(Conductor) 與 絕緣體(Insulator) 之間
導體 Conductor
材料上有許多自由電子 (free electron)
給予外加電壓後，產生電場，自由電子開始移動
自由電子移動，且數量夠多時，量測的到電流，我們稱它為導體
- 在室溫下，每單位體積有 $10^{22} / cm^3$ 個原子，每個原子貢獻 1 ~ 2 個自由電子，因此自由電子濃度大概是 $10^{22} / cm^3$
絕緣體 (Insulator)
每個原子幾乎都沒辦法貢獻自由電子，因此自由電子數量極少，沒辦法導電
- 在室溫下，自由電子濃度大概是 $10^1 / cm^3$
半導體有哪些種類？
通常在元素週期表上的第四族，像是矽(Si)、鍺(Ge) 又稱為 元素半導體 (elemental semi)
- 因為他們是單一元素所組成
有時候會是一個 第三族 和 第五族 元素混合形成化合物，像是砷化鎵 (GaAs)，又稱 化合物半導體 (compound semi)
- e.g., Ga (第三族) 與 As (第五族) 組成 GaAs (砷化鎵)
矽 Si
- 礦產佔地球比例 1/4
- 跟 Ge 比起來比較穩定
本質半導體 (Intrinsic Semi)
只有純淨的半導體材料，沒有摻雜任何雜質
第四族的所有元素，價電子 (valence electron) 數量都是 4 個
價電子：原子最外的電子層中的電子
其中 C 是絕緣體，Si、Ge 是半導體，Sn、Pb 是導體
- C: 2-4
- Si: 2-8-4
- Ge: 2-8-18-4
價電子像是 Sn、Pb 在比較外層，較容易脫離，相比起來 Si、Ge 價電子較不容易脫離，比較穩定
Si 會與鄰近的其他 Si 形成 共價鍵 (covalence bond)
在室溫下 (300 K)，自由電子濃度大概是 $10^{10} / cm^3$
外界給予能量時 (ex: 溫度上升)，價電子會脫離共價鍵
- 價電子脫離共價鍵結構所需的最小能量稱為 Bandgap Energy (Eg)
- $e^-$ 脫離後會產生電洞 $h^+$，又稱為 Generate $e^- - h^+$ Pair ，與之相反的是 Recombine
在溫度上升的過程中，Generation 速率會比 Recombination 速率快
當熱平衡 (Thermal Equilibrium) 時，Generation 速率跟 Recombination 速率一樣快，$e^-$、$h^+$ 數量不再改變
電子濃度公式 (Intrinsic Carrier Concentration )
$$
n_i(T) = BT^{3/2} e^{(-Eg/2kT)}
$$
- i: intrinsic
- B: Semi Constant for Si, B = 5.23 * $10^{15}$
- Eg: Bandgap energy (eV) for Si, Eg = 1.1 eV
- T: 絕對溫度 (K), K = 273.15 + $^\circ C$
- k: Boltzmann’s Constant, k = 86 * $10^{-6}$ eV/K
$n_i(300K)$ = 1.5 * $10^{10}$ $cm^{-3}$，可以發現本質載子濃度對於溫度 T 非常敏感
外質半導體 (Extrinsic Semi)
可以發現本質載子濃度 $n_i$ 是 $10^{10}$，離導體的 $10^{22}$ 差非常多，因此我們需要 摻雜 (doping) 雜質來增加導電性
摻少量 (比例大約 1/10000000) 雜質到本質半導體 (Si)，導電性上升
N 型半導體
這邊以摻雜五價元素為例，稱為 N 型半導體
原先 Si 濃度是 5 * $10^{22}$ 原子/$cm^3$
摻雜的 P 濃度是 5 * $10^{15}$ 原子/$cn^3$
摻雜過後的 Si 濃度是 $5 * 10^{22}$ - 5 * $10^{15}$，還是 5 * $10^{22}$ 原子/$cm^3$
- 可以發現 Si 濃度幾乎沒有改變，因此熔點等物理特性、化學特性不會變，但是 導電性 會改變
摻雜元素要是均勻分布的
摻雜後，每個雜質都多貢獻一個自由電子，稱其為 施體或施子 (donor)
原先電子濃度是 $10^{10}$
摻雜後的電子濃度是 $10^{10}$ + $10^{15}$ = $10^{15}$，因此電子濃度是由 donor 濃度決定，稱其為 $N_d$
$n = N_d \gg n_i$
- 大寫 $N$ 代表雜質濃度，$d$ 代表五價的 donor
- 小寫 $n$ 代表電子濃度
基於質量作用定律 (mass-action law)，電洞濃度會下降
- $p = \frac{n_i^2}{n} = \frac{n_i^2}{N_d} = 10^5$
質量作用定律 (mass-action law)
在純的半導體中，$n = p = n_i(T)$
在摻雜半導體中
$Generation = f_1(T)$
$Recombination = n \cdot p \cdot f_2(T)$，$n$ 或 $p$ 濃度越高，速率越快
在熱平衡 (Thermal Equilibrium) 時，$Generation = Recombination$，因此
$$
f_1(T) = n \cdot p \cdot f_2(T) \newline
\Rightarrow n \cdot p = \frac{f_1(T)}{f_2(T)} = n_i^2(T)
$$
Example
假設在 300 K 的環境下的 Si 中，摻雜 $N_d = 10^{15} cm^{-3}$，求電子濃度 $n$ 與電洞濃度 $p$？
- $n = N_d = 10^{15} cm^{-3}$
- $p = \frac{n_i^2}{N_d} = \frac{(1.5 \cdot 10^{10})^2}{10^{15}} = 2.25 \cdot 10^5 cm^{-3}$
這邊的 $n$ 也可以寫成 $n_{n_0}$，$p$ 可以寫成 $p_{n_0}$
- 下標的 $n$ 代表 N 型半導體
- 下標的 $0$ 代表在熱平衡 (Thermal Equilibrium)
這題的電子又稱為多數載子 (Majority Carriers)，電洞稱為少數載子 (Minority Carriers)
且摻雜過後雖然電子濃度比電洞濃度高很多，但是 donor 的電子脫離後，會帶正電荷，因此整體上還是中性的
P 型半導體
- 摻雜三價元素 (B)，原理跟 N 型半導體 差不多
- 電洞變成多數載子 (Majority Carriers)，電子變成少數載子 (Minority Carriers)
- 上述的 donor 變成 acceptor (受體、受子)，因此 $N_d$ 也變成 $N_a$
飄移與擴散 (Drift and Diffusion)
飄移
外力，像是施予外在電壓產生電場
電場產生力給載子，移動裡面的電子與電洞
- 雖然電子與電洞方向不同，但他們貢獻的方向是相同的，不會抵銷
- 所有載子的平均速度，就是 飄移速度，會隨著電壓變大而變快
- 當飄移速度變快時，電流也會越大
- 可以發現跟歐姆定律很像，但是在半導體中要多考慮 電洞
雖然電場與飄移速度成正相關，但是當電場大到一定程度 ($10^4$)，飄移速度幾乎不會再增加
- 電子: $v_{dn}$ = - $\mu_n$ E
- 電洞: $v_{dp}$ = + $\mu_p$ E
- $\mu$: 移動率，mobility
- $v_d$: 飄移速度
- E: 電場
- 電子多一個負號，因為它與電場方向相反
- $\mu_n$ 大約是 1350，$\mu_p$ 大約是 480 $\frac{cm^3}{V \cdot s}$
半導體電流公式
電子 n
電流
$$
I_n = \frac{N \cdot q}{t}
$$
速度
$$
V_{dn} = \frac{-L}{t}
$$
- 負號為方向
得到
$$
I_n = qN \cdot \frac{(-V_{dn})}{L}
$$
電流密度
$$
J_n = \frac{I_n}{A} = \frac{qN \dot (-V_{dn})}{L\cdot A} = q \cdot n (-V_{dn})
$$
- n 為電子濃度
結合前面的飄移速度公式，可以得到
$$
J_n = q \cdot n \cdot (-V_{dn}) = q \cdot n \cdot (-) (-\mu_n) \cdot E = q \cdot n \mu_n \cdot E
$$
電洞 p
基本上跟電子類似，可以得到 $J_p = q \cdot p \mu_p \cdot E$
可以得到 半導體的總電流密度 為 $J = J_n + J_p = (q \cdot n \mu_n + q \cdot p \mu_p) \cdot E = \sigma \cdot E$
導電係數 $\sigma$
半導體的電流密度 中的 $(q \cdot n \mu_n + q \cdot p \mu_p)$ 又稱為 導電係數 conductivity
在探討 歐姆定律 (Ohm’s laws) 時，有 $I = \frac{V}{R} = \frac{V \cdot A}{\rho \cdot L}$，且又 $I = J \cdot A$
- $\rho$ 為 電阻係數
- $L$ 為長度
- $A$ 為截面積
可以發現 $J = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{V}{L} = (\frac{1}{\rho}) \cdot E$ 且又 $J = \sigma \cdot E$
所以 $\sigma = \frac{1}{\rho}$
例題
本質半導體 Si 在 300 K 的溫度下， $\mu_n = 1350 \frac{cm^3}{V \cdot s}$，$\mu_p = 480 \frac{cm^3}{V \cdot s}$，$N_d = 1 \cdot 10^{16} cm^{-3}$，求導電係數 $\sigma$？
$n = N_d = 1 \cdot 10^{16}$
$p = \frac{n_i^2}{N_d} = \frac{(1.5 \cdot 10^{10})^2}{10^{16}} = 2.25 \cdot 10^4$
可以發現 $q \cdot p \cdot \mu_p$ 跟 $q \cdot n \cdot \mu_n$ 比起來極小，可以省略
因此 $\sigma = q \cdot n \cdot \mu_n = 1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{16} \cdot 1350 = 2.16$
可以觀察到：
- 如果沒有參雜雜質，$p$ 或 $n$ 都遠不及有參雜雜質的，因此 導電性 會差很多倍
- N 型半導體: $\sigma \approx q \cdot N_d \cdot \mu_n$
- P 型半導體: $\sigma \approx q \cdot N_a \cdot \mu_p$
導電係數之溫度係數 (Temperature Coefficient)
- Positive Temperature Coefficient: 溫度上升，導電係數上升
- Negative Temperature Coefficient: 溫度上升，導電係數下降
在導電係數中，$q$ 與 $n$、$p$ 都不會隨著溫度改變，唯一會改變的是 $\mu_n$ 與 $\mu_p$
Impurity (雜質) Scattering
溫度上升，電子能有更多能量，移動速度較快，電子移動過程中更難受到帶正點的離子吸引
因此，$T$ 上升，$\mu$ 上升
Lattice (晶格) Scattering
溫度上升，離子更容易震動，離子的 有效面積 上升，電子移動過程中更容易撞到離子
因此，$T$ 上升，$\mu$ 下降
一般而言，我們討論的室溫 (300 K)，大概都在 Lattice Scattering 的範圍內
本質半導體
在本質半導體中，$\sigma = (q \cdot n \mu_n + q \cdot p \mu_p)$，其中 $n = p = n_i$，因此 $\sigma = q \cdot n_i \cdot (\mu_n + p \mu_p)$
前面有提到，本質載子濃度 $n_i$ 對於溫度非常敏感，因此當溫度上升時，雖然 $(\mu_n + p \mu_p)$ 下降，但是遠不及 $n_i$ 的上升程度，所以 $\sigma$ 還是上升
N 型半島體
$\sigma = q \cdot N_d \cdot \mu_n$
溫度上升，$N_d$ 不變，$\mu_n$ 下降，所以 $\sigma$ 下降，P 型半導體同理
- 其實應該寫成 $\sigma = q \cdot (n_i + N_d) \cdot \mu_n$，但是即使 $n_i$ 隨著溫度上升，仍然不及 $N_d$，因此可以忽略
金屬
- $\sigma = q \cdot n \cdot \mu_n$
- $n$ 為自由電子濃度
- 溫度上升，$n$ 不變，$\mu_n$ 下降
擴散
- 透過濃度的差異，自然的流動，不需要外力